Clase 3 Trimestre I 2012

Isabel Margarita Reyes: La Música de las Matemáticas.

Antes de iniciar lo que voy a hablar, me gustaría decir una nota acerca del lenguaje con el que se va a hablar; es una nota que pertenece también al discurso, da inicio al discurso, pero no es que queda fuera de él, pertenece. Se trata de lo siguiente, es una observación:

“Amanecer de otoño: la luz avanza más rápidamente que la mano que dibuja, el ojo que va de la extensión de los cerros y las nubes al papel, cuando vuelve a levantar la mirada, se encuentra con que la luz y las nubes ya han cambiado, es otra, la nube es otra, las luz es otra, y el día avanza inexorablemente, sin detenerse; se queda ante un inatrapable de las variaciones, entre el blanco y el negro de la noche, el paso a través de una multiplicidad de grises a la belleza del color.”

¿Cómo reunirlo en un croquis? Se trata entonces de un lenguaje vacilante, porque se encuentra y quiere atender a lo que está en cambio. Un lenguaje que tantea entre lo conocido y lo por conocer, y que aún no encuentra su paz, por ello recurre a verdades palpables –como ese amanecer de otoño, que existió el lunes– también recurre a metáforas, recurre a otros personajes, recurre a muchas cosas, pues intenta mostrar sólo un sentido, o el sentido del camino que vamos en la música de las matemáticas.

Me pregunto: Música, hacer sonar las matemáticas, pero como es música, hacerla sonar bien, esto es evidentemente una metáfora, porque no somos músicos ni tampoco las matemáticas suenan, no es un instrumento. ¿Cómo hacerla sonar, hacerla sonido, hacerla son, un son de las matemáticas? Repitiéndola, nos decimos, hay que repetir; las matemáticas que vemos en el pizarrón las anotamos en nuestro cuadernos, pero las anotamos dibujadamente, hacemos de los números dibujo. Pero también en los juegos, también en los actos, también en otras experiencias que se ha tenido con las matemáticas, en toda otra expresión que muestra el número; se trata de dibujar las matemáticas para que ellas adquieran forma, forma visible.

Ahora, repetir lo mismo dibujadamente, es decir, darle otra expresión, una expresión distinta, de cierta manera no agrega nada a la expresión inicial, pero nos decimos que sí agrega, la hace visible, la trae a presencia de otra manera. Esta operación de repetir lo mismo, es lo que se llama en matemáticas una tautología. Al dibujar nosotros hacemos tautologías, al dibujar las matemáticas hacemos tautologías. Y como no somos matemáticos, esta operación de repetir también es una operación trivial, pues no toca el infinito, no llega al infinito matemático; y sin embargo, cuando dibujamos al dibujar guardamos silencio, pues la línea, el trazo, nos llama, nos convoca a mantenernos fijamente en ello. Es el silencio donde toda música se da, este repetir dibujadamente el número para tenerlo adelante es lo que nosotros hemos llamado morfismos.

Muestro una ordenación de números no trivial, porque toca el infinito, que es el Triángulo de Pascal; Newton mira el Triángulo de Pascal y dice que son las potencias de 11: 1, 11, 121, 1331, 14641, etc; se detiene ahí y dice etc. En la siguiente fila, o sea en la potencia de 11 a la quinta potencia, no se cumple, porque la línea del triángulo es ésta: 1, 5, 10, 10, 5, 1 y la potencia de 11 es 161051. Se trata de que, por un lado, estos números, se trata aquí de seis números, 1, 2, 3, 4, 5, 6; y aquí abajo se trata de un único número, o sea, cuando Newton mira el Triángulo de Pascal, en vez de mirar aquí dos números, la repetición de un uno-uno, mira un número que es distinto, el 11, o sea dice: esto es una potencia de once porque es once, once a la uno, esta es potencia de once al cuadrado porque es ciento veinte uno, y no mira que es 1-2-1. Luego esto se cumple en las cinco primeras filas y en la sexta ya dejó de cumplirse, porque aparece el 10, o sea, números de dos dígitos.

Se trata de un error, pero de un error de notación, así Newton nos trae a presencia la notación. Los números se expresan mediante signos, todos los números que tenemos nosotros los expresamos hasta infinito mediante sólo diez signos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; con esos diez signos podemos escribir cualquier número, en la serie infinita de los números naturales, pero también de los quebrados, de los reales. Pero también podemos expresarlos todos –también al infinito– mediante sólo dos signos: 0 y 1; la notación binaria que está anotada acá, en que 1 = 20, se escribe como 1; 2 = 21, se escribe como 1,0; 3 = 21 + 20, se escribe como 1,1; 4 = 22, no está el 21 ni está el 20, por tanto, o sea es 1,0,0; y 5 = 22 + 20, o sea está el 22, no está el 21 y está el 20, es decir, se trata de otra sucesión que es 1,10,11,100,101. Se trata de la abstracción matemática a través de la notación, signos que hacen visible simultáneamente y de manera contractada el número y lo que queremos decir; abstracción que deja de lado y prescinde de propiedades para destacar o aislar una única característica, esto lo dice Heisenberg, el físico Werner Heisenberg.

Permite reconocer lo igual, la abstracción permite reconocer lo que es igual y reconocer lo que es distinto, por ejemplo lo mayor y lo menor, equivalencia y orden. Tiene en sí la abstracción una gran fuerza, pues sin ella viviríamos en un mundo donde todo es distinto, y no podríamos establecer relaciones entre las cosas; la abstracción permite entonces relacionar, hacer corresponder cosas aparentemente distintas, por ello es que se trae a presencia a dos físicos distintos, Newton y Heisenberg, pues ellos requieren de las matemáticas, de su abstracción, para comprender el mundo concreto, físico, lleno de distingos, lleno de diferencias y llegar a palabras que permitan explicarlo.

Pero nosotros, arquitectos y diseñadores, no nos basta con explicarnos el mundo, si no que avanzamos a recrearlo, por esto es que vemos la realidad que tenemos ante nuestros ojos, la dibujamos y nos decimos aquello que vemos, es la observación, ella da cuenta de un acontecer en el espacio para hacernos a su vez caer en la cuenta del acto de habitar, tanto en arquitectos como en diseñadores. Pasamos así del observar la realidad tal cual la tenemos ante nuestros ojos, a decirnos con palabras el acto, para entonces concebir la obra de arquitectura y diseño. Este transcurso requiere de la abstracción, la abstracción que más allá de abandonar propiedades, avanza a decirnos lo que aquello es. Se trata entonces de alcanzar mediante la abstracción, no lo completo, si no lo entero de la obra; que no es dejar de lado, si no reunir lo parecido y ordenar lo diferente de modo de alcanzar su consistencia, “matemáticamente, un sistema axiomátrico es completo o es consistente”, dice Kurt Gödel. No es consistente y completo a la vez; nosotros tomamos partido por lo consistente, pues desde Amereida:

“el don para mostrarse equivoca la esperanza”, “y también desde aquella gratuidad del yerro se abren todavía…”.

En otro momento podríamos hablar del equívoco y del yerro, pero hoy lo entero nos viene desde la poesía, “América regalada” es un entero. Salimos a observar con la palabra poética resonando en nuestros oídos, y haciendo sonar las matemáticas en el silencio, al dibujarlas en nuestros cuadernos, juegos, actos, etc. Se trata de verlas y ver las tautologías –no estamos inventando nada matemático– pero así comprender cuando observamos las equivalencias y el orden, lo igual y lo distinto, para concebir el blanco de la página, lo a la mano de los objetos y el vacío de las edificaciones; de modo que ellos correspondan, calcen y anticipan la condición humana del habitar. Esto sólo lo podemos hacer a través de la abstracción matemática, partir de la palabra poética que es omnívoca –nos hemos dicho– que le habla a todos, salir a observar y recrear la extensión a través de la obra en un lenguaje multívoco, el de las artes, de nosotros, que significa hablar de muchas maneras. Y ese camino pide ayuda a la música de las matemáticas, ir de lo omnívoco a lo multívoco pide de un dibujo silencioso en un lenguaje unívoco sin equívocos, el de la matemática, pero que suena en nosotros anticipando un infinito que nos es inalcanzable.

Herbert Spencer: Sigo con la Música de las matemáticas. Les voy a contar una historia hoy día: Bajo la superficie del mundo yacen las reglas descritas por la ciencia. O, al menos, el mundo avanza como si así fuera. Pero bajo todas estas reglas, existen reglas más profundas, una matriz abstracta de matemática pura que permite el lenguaje capaz de explicar las reglas que –a su vez la ciencia– explican la naturaleza, el mundo, el universo. Estas reglas se constituyen como el último orden, el último juego de certidumbres, de fundamentos, que nos permiten urdir nuestro entendimiento y nuestras verdades. Este primer orden es lo que llamamos “música de las matemáticas”.

“Ver un Mundo en un grano de arena, un cielo en una flor silvestre. Tomar la infinitud en la palma de tu mano y la eternidad en una hora”.
Primera estrofa del poema Augurios de Inocencia, William Blake (1803).

“y puedo decir esto último porque sé de un lenguaje         él viene a obrar
sobre nosotros          ¿cómo?         nosotros amamos en primer término al
árbol que se basta a sí mismo para retener como luz y contraluz          en
cada hoja un cielo      para retener        como rumor de su follaje húmedo
toda lejana brisa imperceptible
Amereida, pág. 123.

Aquí quiero conectar con el primer personaje de la historia, Georg Cantor. La pregunta es ¿cuál es el sistema, cuál es el conjunto a lo cual todo obedece? Es la última pregunta, por cierto. ¿Cuál es la última música, el último bajo continuo de todo? Esta es una pregunta mística, religiosa, pero a la vez matemática. Este hombre se hizo esta pregunta, como muchos otro también.

Estos 3 personajes que quiero traer hoy día, son los equivalentes en las matemáticas a los poetas malditos; son aquellos personajes que quieren ir más allá de la seguridad y la consistencia del sistema preestablecido, para acceder al desconocido y avanzar, con la persistencia férrea y traer luz sobre eso –aunque signifique caerle mal a algunos porque les desarma todo. Y por querer adentrarse en ese misterio todos ellos tienen historias trágicas tocadas por la locura, por el suicidio, etc. –ese es el precio que hay que pagar: Georg Cantor, Kurt Gödel y Alan Turing.

Cantor comenzó una revolución en las matemáticas, revolución que nunca quiso, y lo hizo partiendo con una simple pregunta: ¿Qué tan grande es el infinito? La idea del tiempo, del movimiento, del espacio; todas esas ideas se basan en la idea del infinito, del continuo de infinitos, por lo tanto conocer el infinito es preciso para explicar el continuo; y como no se sabía bien qué era, había que saberlo. Desde un comienzo el se dio cuenta de las implicancias de su trabajo, además era un hombre muy religioso y él sentía que su misión en este mundo era traer luz sobre esto.

Otros ya habían abordado este problema, entre los modernos podemos decir que estaba Galileo; ¿qué hizo? Dentro de un círculo puso un triángulo, luego un cuadrado, luego un pentágono, etc., y se dio cuenta de que el infinito lo podía tomar en un círculo, todo esto es perfecto, pero a su ver traía una paradoja terrible: Si yo le asigno una línea hasta el centro a cada punto infinito de este círculo y trazo un círculo más grande, estas líneas inevitablemente se van a ir abriendo y van a haber huecos en el otro infinito; este problema decía que la mente del ser humano, como es finita, no lo puede comprender y toma el problema y lo barre debajo de la alfombra, y no se tocó hasta Cantor. Cantor dice, que si puedo suman 1 + 1, ¿podré sumar un infinito + otro infinito?, y construyó un nuevo sistema que es la Teoría de Conjuntos, obra que se abre con un fragmento de Corintios que dice “que él va a traer luz sobre aquello que está oculto”. Lo que quiso hacer de verdad, era establecer la ley de todo eso con la relación entre todos estos infinitos; estableció distintas escalas (esto se trata en las Matemáticas V), son las escalas del infinito, Aleph0, Aleph1, Aleph2, que son las distintas magnitudes que tiene ese infinito; es decir… llegó a la cumbre, y cuando llegó a la cumbre se dio cuenta que había otra montaña más alta y así cada vez más alta. Lo que quería él era establecer la relación entre todos estos conjuntos, para no quedarse con pedazos sueltos; tenía que establecer lo que él denominó como La Hipótesis del Continuo, y esa fue la tarea que lo llevó a la locura, porque un día la demostraba y más tarde se desbarataba su demostración, así muchas veces… y no estaba haciendo otra cosa que irse de poco al manicomio.

Pero gracias a esta Teoría de Conjunto, a principios del siglo XX, en Viena, Austria, había un gran entusiasmo porque ya se estaba construyendo un sistema lo suficientemente consistente como para hacer el fundamento: el libro se llama Principia Matemática; gran entusiasmo, a este movimiento se le denomina comunmente como el Positivismo. Los fundamentos del gran edificio matemático, un ladrillo indestructible de certidumbres… demora cerca de 300 páginas en demostrar que 1+1=2.

Y bajo la aritmética hay un orden más profundo que es el de la lógica, Gödel era un lógico, pero él llegó como una especie de aguafiestas para desmantelar esta consistencia y decir –lo que nombró Isabel: el Teorema de la Incompletitud; es decir, que todos los sistemas consistentes son limitados, siempre van a requerir algo que está fuera para poder demostrar todas las verdades. Por supuesto, esto no lo hizo muy popular entre sus colegas. Hay toda una demostración… pero en el fondo todos nuestros sistemas linguísticos pueden tener una verdad, o podemos encontrarnos con una verdad que nos abofetea la cara y no la vamos a poder demostrar bajo ese sistema, y va a ser una paradoja. Un sistema tiene definiciones y axiomas, y hay una paradoja que arroja ese sistema; y esa paradoja, a su vez puede ser contenida en otro sistema con nuevas definiciones y nuevos axiomas, donde uno de los axiomas puede ser la paradoja que arroja una segunda paradoja y así sucesivamente… es el Teorema de la Incompletitud, dicho de una manera muy resumida.

El tercer personaje es Alan Turing, matemático inglés, padre de la computación moderna; él ideó un dispositivo abstracto que se denomina Máquina de Turing, y que básicamente es un computador; también es famoso porque él logro crackear el Código Enigma de los alemanes durante la II Guerra Mundial, logrando anticiparse a los bombardeos; logró deducir cómo en ese sistema encriptado podría haber una llave. Pero también es el hombre que le da una realidad concreta al Teorema de la Incompletitud porque lo lleva al mundo de las máquinas: una máquina también, como un sistema, va a ser incompleto. Una computadora, alimentada con este tipo de problemas no parará nunca, se va a quedar pegada; pero que eso, no se sabría si con un número finito de cálculos podría finalizar o quedar pegada infinitamente; y más malo que eso: no existiría ninguna manera matemática de detectar estos problemas de antemano (ese es el diagrama que explica el problema de “parada” o Halting Problem, que es la aplicación práctica del Teorema de Gödel); dicho de otro modo, Gödel demostró que en todos los sistemas lógicos habrían problemas sin solución, pero al menos uno podría distinguirlos y dejarlos de lado y operar con lo que se puede operar. Turing demostró que no hay forma sistemática de saber de antemano cuáles serán esos problemas, así como no se sabrá cuándo parar, de buscarlos, tampoco… y ese es el problema de Turing y lo vuelve un problema práctico porque lo trae a nuestra cotidianeidad, está acá en nuestros dispositivos, computadoras, teléfonos, etc. cuando se quedan pegados. Él pensaba que estas “máquinas” nos podrían ayudar a entendernos a nosotros mismos, ayudar a entender qué es la conciencia humana; él pensaba que nosotros éramos computadores glorificados. Pero Gödel, a diferencia de él, no creía eso, pues pensaba que somos seres luminosos con nuestra propia poesía y nuestra propia creatividad. En el fondo no se trata de barrer el problema, sino que es mucho más creativo; es un sistema inconsistente e incompleto matemáticamente, pero es completo poéticamente. Y nuestra manera de ser es completa desde la poesía porque ahí está nuestra creatividad y nuestra intuición. Gödel trató de demostrar que existía la intuición, entre lo verdadero y lo falso que podría existir, eso indecidible que podría resolver con la intuición, podría haber algo fuera de ese sistema. Imagínense un lógico tratando de demostrar matemáticamente la intuición; también terminó loco, se mató de hambre.

La historia de Turing tampoco es muy distinta, tenía una filosofía de vida que consistía en ser perfectamente honesto, él era homosexual y ser homosexual en esa época, además de ser ilegal, era un problema de seguridad del estado, pues si tenía un amigo alemán, o alguien al otro lado de la cortina de hierro durante la Guerra Fría, iba a ser un problema; se le dio a elegir entre la cárcel o ser castrado químicamente; él eligió esto último y fue “reprogramado” como sus propias computadoras, fue reprogramado con hormonas femeninas, le crecieron pechos, cambió su humor, su cabeza y se suicidó mordiendo una manzana envenenada con cianuro; a veces creo que la manzana de Apple es un homenaje a Turing.

Entonces, ¿cuál es el asunto? Que hay cosas que son inasibles. Termino con una observación de las estrellas: Hay estrellas que son menos brillantes que otras, hay estrellas que aparecen solamente cuando uno las mira con el rabillo del ojo, las tenues; si uno las mira de frente, desaparecen. Uno mira distraidamente y aparecen en el rabillo del ojo que parece más sensible, es la intuición, y uno lo enfoca y quiere atrapar por la razón y desaparece. Eso creo que es una experiencia concreta de la incompletitud y este problema es el que queremos abordar este año, en Primer Año, para tratar de ver y construir un lenguaje cualitativo, sensible, para expresar este tipo de problemas mediante el dibujo.

Carlos Covarrubias: Benditos malditos, benditos malditos! Cantor, Gödel y Turing.

De los poetas malditos: en la página 123 –leída como ciento veinte y tres– de una de las mejores biografías que existen de Arthur Rimbaud de Enid Starkie –una mujer inglesa–; en la página 123, hay un párrafo que habla de aquella visión del poeta maldito, Rimbaud, que dice “je est un autre”. Misterio de misterio, parece que estuviera diciendo lo mismo que aquí, de una incompletitud del ser en una zona: el yo, ese famoso yo tan bien construido, tan aparentemente sólido no es tal; no es tal! Es un otro, ese pensar que uno se atribuye a sí mismo a través de todas las estructuras posibles, habidas y por haber; parece que uno es pensado, es pensado, no es finito en sí mismo, es pensado.

Yo creo que no hay ninguna opción de celebrar si no es con esta certeza. La hospitalidad que es la reina de la celebración, es y será oir al otro, reconocer por sobre todas las cosas esa otra existencia perfecta, completa, que se completa también con uno mismo y que está.

Qué buena y maravillosa lección de lenguaje, Rimbaud soñaba y le pasaron tantas cosas como a estos, con un lenguaje del alma por el alma, qué misterio, como si la lengua del cuerpo tuviera que recoger una palabra del alma que a su vez es por el alma; es como una progresión al infinito, él soñaba con eso.

Qué maravilla que podamos soñar ilimitadamente, todo aquello que podamos soñar y aun es poco, y aun es poco. Esta hermana de la poesía, esta linda hermana, la Música de las Matemáticas, la vamos a alimentar; porque ella que es silenciosa, miren el silencio del 1, miren, si no es nada, y 1 cuando uno aprende desde chico, 1, 2, 3, 4; cuando resulta la cuenta inversa, qué bien se está.

Página 123 de Arthur Rimbaud de Enid Starkie, la voy a dejar en fotocopia, y ahí se relata el “je est un autre” que hoy día en Rapanui sonaría como “Aau erua tanata”, tan cierto como lo otro en francés.

Herbert Spencer, nota: La Hipótesis del Continuo todavía no ha sido probada; todas las puertas que ellos abrieron ellos están abierta, y estamos parados en el umbral de lo que abrieron. De hecho, hay algunos que no creen que existen los números Reales… que son continuos.

Manuel Sanfuentes: Algunas palabras, primero: “la certeza del otro”, dice Carlos. Segundo: todo esto lo podríamos pensar como una bendición: la Virtud de la Mesa. Pareciera que siempre hay una causa última, una cierta conducción, o hay algo que tiende hacia una dirección que pueda ser infinito o no, que inicialmente uno podría llamar como sabiduría; quizá es demasiado anticipado nombrarlo así, faltarían unos pasos intermedio que llamaría conocimiento, o dentro del ámbito nuestro, universidad. Pienso algunas vías de aproximación a ello.

Primero sería lo al Natural; 2, las Cosas y 3, los Textos. Lo natural y las cosas se piensan; las cosas y los textos se escriben y describen (Herbert). Cerca de lo que se piensa está la palabra, lo hablado (lo que va), el acto y la observación. Y en lo que se escribe, lo escrito, está la lectura y el estudio.

Todo esto para (si es que realmente hay un para): Hacer mundo, a través de una visión, que transforma y cambia al mundo. Porque lo propio de uno vuelve a ser de todos; esa es la experiencia, el paso. Porque ahí nos encontramos nuevamente con las cosas, para llegar a ser, hasta encontrarse con la muerte.

Alberto Cruz: Ahora hablamos, como siempre en el último momento, de nosotros; y en la última vez yo hable de el derroche creativo, y que nosotros en cuanto creativos éramos unos derrochadores; por cierto no se trata del mal derroche no creativo, se trata del buen derroche creativo, que es lo opuesto al mal derroche habitual cotidiano, que desvaloriza, dispersa las cosas. Dijimos que nosotros estábamos en esto de ser derrochadores creativos, ¿Y por qué se partió así casi intespestiva, bruscamente?

Porque hoy día tenemos que cuidarnos del reduccionismo, sin quererlo todo, muchos, la más de las veces, se habla reduciendo, y todas las realidades aparecen en reducción. Pero el derroche no es reducible, es una virtud que se tiene no reducible; entonces nosotros tenemos que empeñarnos en construir lo no-reducible, para eso nosotros tenemos que recurrir a la memoria, tenemos que tener memoria de las cosas; todos tenemos que recordar, la memoria es el alma que tenemos nosotros para combatir el reduccionismo. Este empeño es del nosotros en nosotros, es lo que vamos a desarrollar durante el año.

Ahora, en cuanto a la memoria: Siempre me trae, estos miércoles con ustedes, Cristián Valdés, que es un alumno de la primera generación de nuestra escuela; se hace carne en él la memoria de la escuela, entonces él es eso; por eso él me trae y me lleva y vemos la memoria nuestra, la memoria que nosotros le transmitimos a ustedes como memoria, para no quedar nosotros tratando a los de más como lo irreductible, aceptándo ser tratandos en forma reducida por nosotros, por eso es la presencia de la memoria hecha carne nuestra y tiene una real significación.

Pero cabe pensar una cosa, ¿no estaré yo en este preciso instante reduciendo a Cristián Valdés, en ser él carne de los 60 años de la Escuela? Sí, de cierta manera. Porque tengo que decir otra cosa de él, que es la siguiente: Cuando joven… ((Últimos 2 minutos se entrecorta el registro, intranscribible.))

 

  • […] Taller de Amareida, Ciudad Abierta. Clase 3, Trimestre 1, 2012. […]

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